CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES
TRADUCCION : DIFFERENTIAL EQUATIONS
SIGLA : MAT1640
CRÉDITOS : 10
MÓDULOS : 03
REQUISITOS : MAT1126 y MAT1216
CARÁCTER : MINIMO
DISCIPLINA : MATEMATICA
I. DESCRIPCION
El objetivo de curso es introducir al alumno a los conceptos y metodos basicos asociados a ecuaciones
diferenciales, y mostrar sus diversas aplicaciones a distintos ambitos de la Ingenieria. El curso analiza en
detalle las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, los sistemas lineales de ecuaciones
diferenciales y los diversos metodos de resolucion. Tambien presenta herramientas del analisis cualitativo de
las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales.
II. OBJETIVOS
1. Explicar el concepto de un problema de valor inicial y aplicarlo en la resolucion de problemas.
2. Modelar situaciones sencillas de la realidad y de los fenomenos fisicos basicos mediante ecuaciones
diferenciales.
3. Reconocer el tipo de una ecuacion diferencial (lineal o no, grado, orden), identificar y utilizar los
distintos metodos disponibles para la solucion de acuerdo con el caso.
4. Interpretar el comportamiento cualitativo de las soluciones de la ecuacion no lineal de primer orden en
terminos de su campo de pendientes.
5. Explicar la estructura del conjunto de soluciones de una ecuacion o sistema lineal y aplicarla en la
resolucion de problemas.
6. Calcular las soluciones de ecuaciones lineales y sistemas lineales de 2x2 y 3x3 de coeficientes
constantes.
7. Aplicar la transformada de Laplace a funciones conocidas.
8. Aplicar la matriz exponencial en la resolucion de problemas.
9. Determinar el comportamiento cualitativo de las soluciones de sistemas no lineales de 2x2 en la
vecindad de los puntos critico.
III. CONTENIDOS
1. Introduccion.
1.1 Modelacion de situaciones simples.
1.2 Concepto de solucion.
1.3 Problemas de valores iniciales.
1.4 Reduccion de ecuaciones a sistemas de primer orden.
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
2.1 Resolucion de ecuaciones: separacion de variables, ecuaciones lineales, ecuaciones exactas,
cambios de variables.
2.2 Campos de pendientes.
2.3 Metodos numericos: metodo de Euler, metodo de Runge-Kutta. (incluye RK para sistemas
y'=f(t,y), y en Rn).
2.4 Existencia y unicidad de soluciones.
2.5 Aplicaciones.
2.6 Analisis cualitativo de ecuaciones autonomas de primer orden.
2.7 Equilibrio, lineas de fase, clasificacion, bifurcaciones simples.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS / Enero 2013
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3. Ecuaciones lineales de segundo orden.
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden.
3.2 Teoria general, existencia y unicidad.
3.3 Ecuaciones homogeneas de coeficientes constantes.
3.4 Ecuaciones no homogeneas: coeficientes indeterminados y variacion de parametros.
3.5 Aplicaciones.
3.6 Generalizacion a ecuaciones de orden superior.
3.7 Problemas con valores en la frontera.
4. Metodos con series de potencia.
4.1 Introduccion, solucion en series en torno a puntos ordinarios.
5. Transformada de Laplace.
5.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas.
5.2 Propiedades: teoremas de traslacion, transformadas de funciones a tramos, derivadas de
transformadas, transformadas de derivadas, integrales y funciones periodicas.
5.3 Convoluciones.
5.4 Aplicaciones a la solucion de ecuaciones diferenciales y sistemas, integro-diferenciales.
5.5 Funcion impulso y aplicaciones.
6. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
6.1 Teoria general, existencia y unicidad.
6.2 Sistemas homogeneos de coeficientes constantes: valores propios, exponencial de matrices.
6.3 Aplicaciones.
6.4 Sistemas lineales no homogeneos.
7. Teoria cualitativa.
7.1 Estabilidad.
7.2 Puntos de equilibrio.
7.3 Analisis cualitativo.
7.4 El caso lineal.
7.5 Linealizacion, funciones constantes de movimiento, funciones de Lyapunov.
7.6 Aplicaciones.
IV. METODOLOGIA
- Clases expositivas.
- Laboratorios.
- Ayudantias.
V. EVALUACION
- Pruebas
- Proyectos y/o tareas.
VI. BIBLIOGRAFIA
Textos minimos:
Edwards & Penney Ecuaciones Diferenciales. 2? Ed. Mexico, Pearson Educacion,
2001.
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Textos complementarios:
Blanchard, P., R. L. Devaney & G. R. Hall
Ecuaciones Diferenciales. Thomson, 1999.
Nagle, Staff & Zinder Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores de Frontera. 3?
Ed. Addison Wesley, 2001.
Simmons, F. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas historicas.
Mexico, McGraw Hill, 1977.
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