Imprimir

Programa

CURSO			: ÁLGEBRA LINEAL
TRADUCCIÓN		: LINEAR ALGEBRA
SIGLA			: MAT1203
CRÉDITOS		: 06 SCT-Chile / 10 UC
MÓDULOS			: 05
REQUISITOS		: MAT1600
RESTRICCIONES		: CARRERAS: INEGNIERÍA o LIC. en FÍSICA o LIC. en ASTRONOMÍA
TIPO DE ASIGNATURA	: CÁTEDRA
CALIFICACIÓN		: ESTÁNDAR
DISCIPLINA		: MATEMÁTICA


I. DESCRIPCIÓN

El curso desarrolla los conceptos principales y la terminología del álgebra lineal que permitan al alumno plantear, resolver y analizar mediante técnicas vectoriales y matriciales problemas que surgen en el ámbito de la ingeniería, como por ejemplo en diseño de estructuras, análisis de señales, sistemas de control, robótica, computación gráfica, física, análisis estadístico y simulaciones.


II. OBJETIVOS

Generales:

1. Conocer conceptos, nociones y principios de vectores geométricos, su generalización a Rn, matrices, conceptos métricos y ortogonalidad de vectores.

2. Interpretar geométricamente los conceptos anteriores, nociones y principios.

3. Aplicar estos conceptos, nociones y principios vectoriales y matriciales en el planteamiento, resolución y análisis de problemas que surgen en el ámbito de la ingeniería.

Específicos:

1. Determinar la escalonada reducida de una matriz y utilizarla para estudiar la dependencia lineal de vectores, resolver una sistema Ax=b, resolver la ecuación matricial AX=B, calcular inversas de matrices y bases de subespacios de Rn.

2. Interpretar geométricamente los conceptos de dependencia-independencia lineal, combinaciones convexas, complemento ortogonal, sistemas de ecuaciones lineales.

3. Explicar y aplicar las propiedades de las matrices desde el punto de vista de transformaciones lineales.

4. Explicar las propiedades de las operaciones matriciales y utilizarlas para simplificar y evaluar expresiones matriciales.

5. Calcular las factorizaciones PA=LU, Cholesky y QR de matrices ya sea manualmente o con la ayuda de un software y utilizarlas para la resolución eficiente de problemas matriciales.

6. Explicar y utilizar las propiedades de las matrices elementales, triangulares, simétricas, hermitianas, simétricas positivas definidas, ortogonales, unitarias.

7. Explicar las propiedades de determinante y utilizarlas para calcular determinantes, resolver sistemas y evaluar inversas.

8. Identificar un espacio vectorial de dimensión finita y determinar una base y su dimensión, explicar y utilizar las relaciones entre los cuatro subespacios asociados a una matriz y sus dimensiones.

9. Determinar la matriz que representa a una Transformación Lineal entre espacios vectoriales finito dimensionales y explicar la relación entre cambio de base y la matriz que la representa.

10. Calcular proyecciones en R^n y aplicar esto a la resolución por mínimos cuadrados de sistemas de ecuaciones ya sea mediante la resolución de ecuaciones normales o el cálculo de bases ortogonales por Gram-Schmidt.

11. Clasificar una forma cuadrática por los criterios de determinante, Cholesky o valores y vectores propios.

12. Explicar las propiedades de valores, vectores propios y polinomio característico de una matriz y aplicar esto a determinar si una matriz es diagonalizable y al cálculo de funciones elementales de matrices. Explicar y utilizar la estructura de valores y vectores propios de matrices simétricas y sus aplicaciones.


III. CONTENIDOS

1. Vectores en Rn.

1.1 Vectores en R2, R3. Ecuaciones cartesianas y paramétricas de rectas y planos.

1.2 Producto punto en R2, R3. Perpendicularidad. Ecuación normal de un plano.

1.3 Vectores en Rn .Operaciones vectoriales, producto punto canónico.

1.4 Combinaciones lineales. y = Ax.

1.5 Conjunto generado.

1.6 Combinaciones convexas, positivas.

1.7 Hiperplanos.

1.8 Dependencia e independencia lineal.


2. Solución de Sistemas Lineales de Ecuaciones.

2.1 Eliminación Gaussiana. Matriz escalonada reducida.

2.2 Rango Gaussiano.

2.3 Solución general de Ax = b.

2.4 Solución de Axi = bi, i =1, . . . , k.

2.5 Aplicaciones de sistemas lineales.


3. Matrices.

3.1 Transformaciones lineales de Rn en Rm.

3.2 Operaciones matriciales, suma, producto, transpuestas. Derivadas de matrices.

3.3 Ker(A), Im(A), 1 - 1, sobre.

3.4 Solución general de Ax = b.

3.5 Inversas por la derecha, izquierda, inversas, matrices elementales.

3.6 Matrices especiales: diagonales, triangulares, permutación, simétricas y antisimétricas.

3.7 Aplicaciones a los gráficos por computadora.

3.8 Factorización PA = LU. Aplicaciones.

3.9 Factorización de Cholesky.

3.10 Máximos y mínimos de formas cuadráticas, matrices positivas definidas.

3.11 Aplicaciones.


4. Determinantes.

4.1 Propiedades, permutaciones y cofactores.

4.2 Inversas.

4.3 Regla de Cramer, matrices positivas definidas. La derivada de un determinante.

4.4 Área, Volumen.


5. Subespacios y Dimensión.

5.1 Subespacios, base y dimensión en Rn.

5.2 Rango y nulidad de A, propiedades.

5.3 Dimensión de los cuatro subespacios de A.

5.4 Sistemas de Coordenadas.

5.5 Matriz de cambio de base.

5.6 Representación de una matriz como una transformación lineal con respecto a diferentes bases.

5.7 Generalización de los conceptos de base y dimensión a espacios abstractos. Independencia y dependencia lineal de funciones. Wronskiano.


6. Valores y Vectores Propios.

6.1 Valores y vectores propios.

6.2 Multiplicidad geométrica y algebraica.

6.3 Diagonalización.

6.4 Similitud y algunos invariantes.

6.5 Estudio de la iteración Estimaciones iterativas para valores propios.

6.6 Funciones de matrices: potencias, polinomios, la serie geométrica.

6.7 Aplicaciones: solución de ecuaciones de diferencias, cadenas de Markov, modelo de Leontiev.


7. Ortogonalidad.

7.1 Producto interior canónico, longitud, distancia.

7.2 Ortogonalidad, Pitágoras. Ángulo entre vectores.

7.3 Complementos ortogonales. Ortogonalidad de los cuatro subespacios de matrices.

7.4 Estudio de las matrices de la forma A^TA

7.5 Proyecciones ortogonales, ecuaciones normales.

7.6 Reflexiones.

7.7 Problema de mínimos cuadrados.

7.8 Bases ortogonales y proceso de Gram-Schmidt.

7.9 Matrices ortogonales, Reflexiones de Householder, Rotaciones de Givens.

7.10 Factorización QR.

7.11 Aplicaciones a modelos lineales.

7.12 Espacios con producto interior.

7.13 Aplicaciones de los espacios con producto interior.


8. Valores y Vectores Propios de Matrices Simétricas.

8.1 Números complejos.

8.2 Conjugados, valor absoluto, forma Cis.

8.3 Diagonalización de matrices simétricas.

8.4 Clasificación de formas cuadráticas por valores propios.

8.5 Descomposición de valores singulares.

8.6 Inversa Generalizada.

8.7 Aplicaciones.


IV. METODOLOGÍA

- Clases expositivas.
- Laboratorios prácticos.
- Ayudantías.


V. EVALUACIÓN

- Pruebas.
- Proyectos.
- Tareas.


VI. BIBLIOGRAFÍA

Mínima:

Lay, David. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3° Ed. Pearson Educación, 2007.

Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 1993.

Complementaria:

Hill, Richard. Álgebra lineal elemental con aplicaciones. Prentice-Hall, Hispanoamericana, 1997.

Noble, Ben y James Daniel. Applied Linear Algebra. 2° Ed. Prentice Hall, 1977.

Strang, Gilbert. Algebra lineal y sus Aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, 1982.



PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS / Agosto 2015