CURSO: MODELOS PROBABILISTICOS TRADUCCION: PROBABILISTIC MODELS SIGLA: EYP1025 CREDITOS: 10 MODULOS: 03 CARACTER: MINIMO DISCIPLINA: MATEMATICAS I. DESCRIPCION El curso introduce al alumno en la axiomatica y fundamentos teoricos de los modelos de probabilidad. Asimismo, ense?a el manejo del lenguaje de las probabilidades, sus propiedades y la aplicacion a problemas concretos. Ademas, mediante el uso de paquetes estadisticos el alumno podra familiarizarse con experiencias de la vida cotidiana en las que interviene el azar, y asi comprender los enfoques de la probabilidad mas usuales. Asi como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes. II. OBJETIVOS 1. Entregar los conceptos basicos de probabilidad, con una fundamentacion matematica solida. 2. Mostrar la aplicacion de los modelos probabilisticos a la resolucion de diversos problemas. 3. Desarrollar las intuiciones probabilisticas a traves del uso de programas de simulacion y discutir la generacion de distribuciones de probabilidad. 4. Entregar ciertos contenidos esenciales para futuros cursos de estadistica. III. CONTENIDOS 1. Modelos probabilisticos discretos. 1.1 Variable aleatoria como funcion. 1.2 Uso de variables indicadoras para representar sucesos. 1.3 Funcion de probabilidad. 1.4 Distribuciones de probabilidad sobre los enteros. 1.5 Algunas familias parametricas. 1.6 Construccion de distribuciones conjuntas a partir de marginales y condicionales. 1.7 Teoremas basicos. 1.8 Independencia de variables aleatorias. 1.9 Modelo Markoviano y aplicaciones. 1.10 Simulacion. 1.11 Funciones de varias variables aleatorias. 1.12 Deduccion de las distribuciones de probabilidad asociadas con el proceso de Bernoulli. 2. Modelos probabilisticos continuos. 2.1 Sigma-aditividad y propiedades analiticas de la funcion de probabilidad y de la funcion de distribucion de probabilidad acumulada. 2.2 Familias parametricas. 2.3 Transformaciones. 2.4 Vectores aleatorios y densidad conjunta. 2.5 Densidades marginales. 2.6 Independencia. Variables i.i.d. y aplicaciones. 2.7 Teorema de cambio de variables. 2.8 Distribucion de funciones de vectores aleatorios. 2.9 Distribuciones asociadas al caso i.i.d. normal. Definicion de lim-sup y lim-inf de una sucesion de sucesos. Teorema de Borel Cantelli. 3. Valor esperado. 3.1 Definicion y equivalencia de las distintas formulas. 3.2 Linealidad. Media, varianza y momentos. 3.3 Cambio de localizacion y escala. 3.4 Valor esperado de un producto. 3.5 Matriz de covarianza y transformaciones lineales. 3.6 Mejor predictor lineal. Valor esperado de funciones de variables binarias y calculo de probabilidades de sucesos. 3.7 Desigualdad de Chebyshev. 4. Funciones generadoras. 4.1 Funciones generadoras de probabilidades, de momentos y de cumulantes. 4.2 Aplicacion al calculo de momentos, la caracterizacion de distribuciones y a las sumas de variables aleatorias independientes. 4.3 Efectos de una transformacion de una variables aleatoria. 4.4 Aproximaciones. Desigualdad de Jensen. 5. Distribuciones condicionales. 5.1 Distribuciones condicionales en el caso continuo. 5.2 Extension de la Ley de las Probabilidades Totales y del Teorema de Bayes al caso continuo y mixto. 5.3 Independencia condicional. Simulacion. 5.4 Valor esperado condicional. 5.5 Aplicacion a arboles de decision. 5.6 Funcion de regresion. 6. Distribucion normal multivariada. 6.1 Definiciones. 6.2 Distribuciones marginales y condicionales. 6.3 Independencia y ausencia de correlacion. 6.4 Normalidad de transformaciones lineales. 6.5 Prediccion lineal. 7. Teoremas limites. 7.1 Nociones de convergencia. 7.2 Convergencia en probabilidad y ley debil de los grandes numeros. 7.3 Aplicaciones. Convergencia en distribucion. 7.4 Demostracion de la Ley de los Grandes Numeros y del Teorema del Limite Central utilizando funciones generadoras. 7.5 Teoremas tipo Slutzky y el metodo delta. Teorema de Cramer. 8. Simulacion. 8.1 Generacion de numeros seudo aleatorios. 8.2 Uso de numeros aleatorios para evaluar integrales. 8.3 Metodo de la transformacion inversa. Metodo de aceptacion y rechazo. 8.4 Metodos para distribuciones especiales. 8.5 Simulacion de un Proceso de Poisson. 8.6 Tecnicas de reduccion de la varianza. IV. METODOLOGIA - Clases expositivas. - Clases de ejercicios. V. EVALUACION - Pruebas. - Examen. VI. BIBLIOGRAFIA Minima: Aravena, R., del Pino, G. y Quintana, F. Apuntes de Probabilidad. Facultad de Matematicas, P.U.C., 1998. Pitman, J. Probability. New York: Springer-Verlag, 1992. Rice, J.A. Mathematical Statistics and Data Analysis. Belmont: Duxbury Press, 1995. Chung, Kai Lai. Teoria Elemental De Probabilidad Y Procesos Estocasticos. Barcelona, Reverte, 1982. De Groot, Morris. Probabilidad y Estadistica. Mexico: Addison Wesley Iberoamericana, 1988. Ross, S. A First Course In Probability, Seventh Edition. New York: Macmillan, 1997. Parzen, E. Teoria Moderna de Probabilidad y Aplicaciones. Mexico, Limusa Wiley, 1987. Pfeiffer, P. E. Probability for Applications. New York: Springer Verlag, 1990. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS / AGOSTO 2006