CURSO : ALGEBRA Y SISTEMAS NUMERICOS II
TRADUCCION : ALGEBRA AND NUMERICAL SYSTEMS II
SIGLA : VIL513
CRÉDITOS : 10
MÓDULOS : 03
REQUISITOS : VIL510
CARÁCTER : MINIMO
DISCIPLINA : MATEMATICA
I. DESCRIPCION
Este curso pertenece a las actividades curriculares de la mencion de matematica y se completara el estudio
iniciado en el curso Algebra y Sistemas Numericos I de los conjuntos de numeros, analizando desde un punto
de vista formal y algebraico los numeros racionales, reales y complejos, considerando sus fundamentos
axiomaticos, sus representaciones y su operatoria. Se comparara estos sistemas para analizar sus similitudes y
diferencias y abstraer sus estructuras algebraicas. El alumno aplicara los conocimientos algebraicos de los
conjuntos Q, IR y C para resolver problemas y construir procesos de argumentacion fundamentos en metodos
de razonamiento deductivo e inductivo.
II. OBJETIVOS
1. Analizar desde un punto de vista algebraico los conjuntos de numeros racionales, reales y complejos,
su operatoria y fundamentos axiomaticos.
2. Identificar algunas de las representaciones de los numeros complejos, estableciendo relaciones entre
ellas.
3. Establecer las diferencias entre los conjuntos de numeros reales y numeros complejos, que permitan
apreciar el rango de aplicacion de estos ultimos.
4. Establecer similitudes entre los sistemas numericos, que permitan abstraer estructuras algebraicas
generales.
5. Profundizar el estudio del metodo de razonamiento deductivo, para comprender y elaborar
demostraciones.
6. Formalizar las conceptualizaciones de la nocion de numero elaboradas en el curso anterior.
7. Estudiar otros ejemplos de estructuras con las mismas propiedades estructurales, por ejemplo clases
residuales de caracteristica prima.
III. CONTENIDOS
1. Los numeros racionales.
1.1. Los inversos multiplicativos. Necesidad algebraica.
1.2. Operaciones y sus propiedades. Axiomas.
1.3. Orden. Densidad.
1.4. Incompletud.
1.5. ?Que se hereda y que cambia con respecto a los numeros enteros?
2. Los numeros reales.
2.1. Completacion de los racionales.
2.2. Intervalos encajados.
2.3. Axioma del supremo.
2.4. Axiomas de orden.
2.5. ?Que se hereda y que cambia con respecto a los numeros racionales?
2.6. Aplicaciones de los numeros reales.
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SEDE REGIONAL VILLARRICA / Diciembre de 2011
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3. Los numeros complejos.
3.1. Definicion y justificacion algebraica.
3.2. Operatoria.
3.3. Representaciones: como par ordenado, binomial y geometrica.
3.4. ?Que se hereda y que cambia con respecto a los numeros reales?
4. Aplicaciones y otros ejemplos.
4.1. Extensiones de los racionales.
4.2. Cuerpo de descomposicion de un polinomio sobre los numeros racionales y reales.
4.3. Ejemplos finitos. Clases residuales de caracteristica prima.
4.4. ?En que se parecen y en que difieren los numeros reales y los cuerpos finitos?
IV. METODOLOGIA
- Clases expositivas.
- Talleres de profundizacion y aplicacion.
- Ayudantias.
- Uso de Tic.
- Analisis de documentos.
- Trabajo de investigacion.
V. EVALUACION
- Informes de talleres.
- Informes de trabajos de investigacion.
- Interrogaciones escritas.
- Examen final.
VI. BIBLIOGRAFIA
Birkhoff, G. & MacLane, S. Algebra moderna. Barcelona, Espa?a, Editorial Vicens-Vives,
1963.
Feferman, Solomon The Number Systems. Foundations of algebra and analysis. USA,
Addison Wesley, 1964.
Fraleigh, J. B. Algebra abstracta. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana,
1988.
Herstein, I. N. Algebra abstracta. Grupo Editorial Iberoamerica, 1988.
Hungerford, T.W. Abstract Algebra. An Introduction. USA, Saunders College
Publishing, 1990.
Jones, B. J. Teoria de los numeros. Mexico, Editorial Trillas, 1969.
Lewin, Renato Sistemas numericos. Chile, Facultad de Matematica PUC, 2010.
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