CURSO : ALGEBRA Y SISTEMAS NUMERICOS I
TRADUCCION : ALGEBRA AND NUMERICAL SYSTEMS I
SIGLA : VIL510
CRÉDITOS : 10
MÓDULOS : 03
REQUISITOS : VIL100 Y VIL200
CARÁCTER : MINIMO
DISCIPLINA : MATEMATICA
I. DESCRIPCION
Este curso pertenece a las actividades curriculares de la mencion de matematica y se estudiara los conjuntos
de los numeros naturales, los numeros enteros, clases residuales y polinomios desde la perspectiva algebraica.
Sin desarrollar una teoria abstracta de anillos, se estudiaran todos estos casos para comparar las propiedades
aritmeticas que ellos comparten y aquellas en las que difieren. El alumno aplicara los conocimientos
algebraicos y de los diferentes sistemas numericos para resolver problemas y desarrollar procesos de
argumentacion fundados en metodos de razonamiento deductivo e inductivo mas avanzados.
II. OBJETIVOS
1. Caracterizar los conjuntos de numeros naturales y enteros, y su operatoria desde un punto de vista
formal y algebraico, enfatizando la relacion con las intuiciones desarrolladas anteriormente.
2. Comprender las clases residuales y su operatoria.
3. Reconocer la estructura algebraica del conjunto de polinomios con sus operaciones habituales.
4. Reconocer las similitudes algebraicas de los conjuntos de clases residuales, de los numeros enteros y
los polinomios.
5. Utilizar el lenguaje algebraico para la formulacion y comprobacion de propiedades.
6. Comprender y aplicar los metodos de razonamiento deductivo e inductivo para la elaboracion de
argumentos intuitivos en el contexto de los sistemas numericos y los polinomios.
7. Establecer bases conceptuales solidas para las nociones intuitivas de numero y de polinomio, algunas
de las cuales se deberan ense?ar.
III. CONTENIDOS
1. Los numeros naturales.
1.1. Axiomas de Peano: induccion.
1.2. Definiciones recursivas.
1.1.1. Adicion.
1.1.2. Multiplicacion.
1.3. Propiedades aritmeticas.
1.3.1. Asociatividad.
1.3.2. Conmutatividad.
1.3.3. Distributividad.
1.3.4. Cancelacion. Solucion de ecuaciones.
1.4. Orden. Propiedad arquimediana.
2. Los numeros enteros.
2.1. El cero y los inversos aditivos.
2.2. La sustraccion y los inversos aditivos. Necesidad algebraica. Propiedad de clausura.
2.3. Estructura algebraica de los enteros.
2.4. Orden. Orden discreto.
2.5. ?Que se hereda y que cambia con respecto a los numeros naturales?
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3. Clases residuales.
3.1. Ecuaciones diofanticas.
3.2. Congruencias. Clases residuales. Teorema de Euler-Fermat.
3.3. Estructura algebraica de las clases residuales.
3.4. Teorema chino del resto.
3.5. ?En que se parecen y en que difieren las clases residuales y los numeros enteros?
4. Polinomios
4.1. Polinomios sobre los enteros, racionales y reales.
4.2. Divisibilidad. Algoritmo de la division.
4.3. Polinomios irreducibles. Maximo comun divisor y minimo comun multiplo de polinomios. El
algoritmo de Euclides para polinomios.
4.4. Raices de un polinomio.
4.5. Teoria elemental de ecuaciones. Ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado.
4.6. ?En que se parecen y en que difieren los polinomios y los numeros enteros?
IV. METODOLOGIA
- Clases expositivas.
- Ayudantias.
- Uso de Tic.
- Analisis de documentos.
- Trabajo de investigacion.
V. EVALUACION
- Informes de talleres de aplicacion.
- Informes de trabajos de investigacion.
- Interrogaciones escritas.
- Examen final.
VI. BIBLIOGRAFIA
Birkhoff, G. & MacLane, S. Algebra moderna. Barcelona, Espa?a, Editorial Vicens-Vives,
1963.
Feferman, Solomon The Number Systems. Foundations of algebra and analysis. USA,
Addison Wesley, 1964.
Fraleigh, J. B. Algebra abstracta. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana,
1988.
Herstein, I. N. Algebra abstracta. Grupo Editorial Iberoamerica, 1988.
Hungerford, T.W. Abstract Algebra. An Introduction. USA, Saunders College
Publishing, 1990.
Jones, B. J. Teoria de los numeros. Mexico, Editorial Trillas, 1969.
Lewin, Renato Sistemas numericos. Apuntes Facultad de Matematicas. Chile,
Facultad de Matematica, PUC, 2010.
Lewin, Renato Algebra. Coleccion Herramientas para la Formacion de Profesores
de Matematicas. Chile, J.C. Saez Editores, 2010.
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Niven, I. & Zuckerman, H. S. Introduccion a la teoria de los numeros. Mexico, Editorial Limusa-
Wiley, 1969.
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