CURSO : TOPOLOGIA Y GEOMETRIA DE VARIEDADES TRADUCCION : TOPOLOGY AND GEOMETRY OF MANIFOLDS SIGLA : MPG3403 CRÉDITOS : 15 UC / 9 SCT MODULOS : 2 CATEDRAS Y 1 AYUDANTIA REQUISITOS : NO APLICA CONECTOR : Y RESTRICCIONES : POSTGRADOS EN MATEMATICA CARACTER : OPTATIVO TIPO : CATEDRA CALIFICACION : estandar (calificacion de 1.0 a 7.0) PROFESOR : ACADEMICOS DEL POSTGRADO EN MATEMATICA DISCIPLINA : MATEMATICAS I. DESCRIPCIÓN DEL CURSO Este curso es una introduccion a nociones basicas en topologia y geometria de variedades (diferenciales), las cuales son esenciales para todo matematico. Cubrira aspectos topologicos y diferenciables con el fin de mostrar la interaccion entre ellos. El curso se divide esencialmente en cuatro partes: (1) Grupo fundamental y cubrimientos, (2) Variedades diferenciales, (3) Nociones basicas de topologia diferencial, (4) Calculo diferencial exterior. II. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 1.Comprender nociones fundamentales en topologia algebraica (grupo fundamental y cubrimientos) y de teoria de las variedades 2.Calcular grupos fundamentales de espacios basicos 3.Comprender lo basico de topologia diferencial, con el fin de introducir resultados importantes para el estudio de variedades en general 4.Reconocer invariantes topologicos en variedades diferenciales 5.Comprender nociones fundamentales de geometria de variedades. III. CONTENIDOS 1. Grupo fundamental y espacios de cubrimiento [4] ?Homotopia. Grupo fundamental. ?Espacios de cubrimiento. Levantamientos. Automorfismos de cubrimiento. ?Ejemplos y aplicaciones. 2. Variedades [1], [2], [3] ?Variedades diferenciales, subvariedades. Aplicaciones diferenciables. Espacio tangente. ?Particiones da unidad. Metricas Riemannianas. ?Incrustaciones e inmersiones. ?Campos vectoriales. 3. Transversalidad [2], [3] ?Teorema de Sard. Teoremas de transversalidad. ?Orientacion. Grado de Brouwer. ?Caracteristica de Euler. Teorema de Poincare-Hopf. 4. Formas diferenciales [1], [2] ?Algebra exterior. Formas diferenciales. Derivada exterior. ?Cohomologia de De Rham. Ejemplos. Caracteristica de Euler en terminos de cohomologia. IV. METODOLOGIA PARA EL APRENDIZAJE Las principales actividades del curso seran: - Clases de catedra expositiva - Clases de ejercicios V. EVALUACION DE APRENDIZAJES El curso sera evaluado mediante: -Evaluaciones escritas : 90% -Tareas : 10% Las estrategias de evaluacion que se indican en este programa podran ser modificadas por el docente a cargo e informadas a los estudiantes al inicio del curso. IV. BIBLIOGRAFIA Basica: 1.S.S. Chern, W.H. Chen, K.S. Lam. Lectures on Differential Geometry. World Scientific, 1999. 2.V. Guillemin, A. Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, 1974. 3.J. W. Milnor. Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton Univ. Press, 1965. 4.J. R. Munkres. Topology. 2nd edition. Prentice Hall, 2000. Complementaria: ?J. M. Lee. Introduction to topological manifolds. Second edition. Springer, 2011. ?L. W. Tu. An introduction to manifolds. Second edition. Springer, 2011.