CURSO : INTRODUCCION AL ANALISIS REAL TRADUCCION : INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS SIGLA : MAT2506 CREDITOS : 10 MODULOS : 03 REQUISITOS : MAT1630 o MAT1136 TIPO DE ASIGNATURA : CATEDRA CALIFICACION : ESTANDAR DISCIPLINA : MATEMATICA I. DESCRIPCION El curso, de caracter teorico, esta orientado a desarrollar un conocimiento profundo del contexto disciplinar sobre el cual se construye la matematica de educacion media. En este curso se estudia el marco teorico conceptual matematico que sustenta el estudio de los numeros reales. Este curso se desarrolla poniendo especial enfasis en las distintas representaciones, errores frecuentes, planteamiento y resolucion de problemas y del analisis de dicho proceso, asi como en las conexiones de estos temas con los tratados a nivel escolar. II. OBJETIVOS 1. Relacionar las nociones intuitivas de numeros reales con los axiomas que los definen. 2. Utilizar las distintas caracterizaciones de completitud para mostrar la complejidad conceptual involucrada en los numeros reales. 3. Integrar los conceptos algebraicos y analiticos para diferenciar los numeros reales de naturaleza algebraicos de aquellos de naturaleza analitica. 4. Contextualizar el estudio de los numeros reales como parte del analisis en espacios metricos. 5. Conectar los conocimientos disciplinarios avanzados mencionados en los objetivos anteriores con aquellos de la matematica escolar a los que sirven de sustento teorico. III. CONTENIDOS 1. Axiomas de los Numeros Reales. 1.1 Axiomas algebraicos. 1.2 Orden. 1.3 Axioma del Supremo. 1.4 Existencia y unicidad del Supremo. 2. Caracterizaciones de la completitud. 2.1 Axioma del supremo y completitud secuencial. 2.2 Intervalos encajados y principio arquimediano versus axioma del supremo. 2.3 Axioma de las cortaduras y el axioma del supremo. 3. Construccion de los Numeros Reales. 3.1 Expansiones decimales. 3.2 Cortaduras de Dedekind. 3.3 Sucesiones de Cauchy. 4. Espacios Metricos. 4.1 Metricas. 4.2 Conjuntos abiertos, cerrados y continuidad. 4.3 Conjuntos conexos y el teorema del valor intermedio. 4.4 Conjuntos compactos, Teorema de Heine-Borel y el teorema del maximo. 4.5 Contracciones y punto fijo de Banach. 5. Numeros trascendentes y algebraicos. 5.1 Enumerabilidad de los numeros algebraicos. 5.2 Trascendencia de e. 5.3 Trascendencia de ?. IV. METODOLOGIA - Clases expositivas. - Ayudantias. V. EVALUACION - Controles. - Actividades de resolucion de problemas. - Pruebas escritas. VI. BIBLIOGRAFIA Minima: Burkill, J. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press, 1978. Lages Lima, E. Analisis Real. Vol. 1. Peru: IMCA, 1997. Complementaria: Kormer, T. A Companion to Analysis. AMS, 2004. Pugh, C. Real Mathematical Analysis. Springer, 2010. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS / Enero 2016