CURSO : ALGEBRA I TRADUCCION : ALGEBRA I SIGLA : MAT2226 CREDITOS : 10 MODULOS : 03 REQUISITOS : MAT1215 o MAT1226 TIPO DE ASIGNATURA : CATEDRA CALIFICACION : ESTANDAR DISCIPLINA : MATEMATICA I. DESCRIPCION El curso, de caracter teorico, esta orientado a desarrollar un conocimiento profundo de la matematica de educacion media. En este curso se estudiaran los fundamentos matematicos del algebra de los sistemas numericos, polinomios y matrices a traves del concepto abstracto de anillo, asi como del algebra de las transformaciones a traves del concepto abstracto de grupo. Este curso se desarrolla poniendo especial enfasis en las distintas representaciones, errores frecuentes, planteamiento y resolucion de problemas, produccion de los alumnos y las conexiones de estos temas con el curriculum escolar. II. OBJETIVOS 1. Comprender y explicar el papel ordenador y unificador que juegan las estructuras algebraicas en la matematica. 2. Articular las estructuras algebraicas concretas (sistemas numericos, polinomios, isometrias, etc.) a traves de los conceptos abstractos de las estructuras de anillo y de grupo. 3. Aplicar los principales teoremas de las teorias de anillos y de grupos a diversas situaciones tanto dentro de la matematica como en otras disciplinas. 4. Conectar los conocimientos disciplinarios avanzados mencionados en los objetivos anteriores con aquellos de la matematica escolar a los que sirven de sustento teorico. III. CONTENIDOS 1. Introduccion a la Teoria de Numeros. 1.1 Los Numeros Naturales y los Numeros Enteros. 1.2 Congruencias. 1.3 Clases Residuales. 1.4 Los sistemas numericos y sus propiedades algebraicas: enteros, racionales, reales y complejos en el curriculum escolar. 2. Polinomios. 2.1 Polinomios sobre los Racionales y los Enteros. Divisibilidad. 2.2 Irreductibilidad sobre los Racionales. El Criterio de Eisenstein. 2.3 Polinomios en el curriculo escolar. Ecuaciones y sus soluciones. 2.4 Irreductibilidad sobre los reales y sobre los complejos. 2.5 Teorema Fundamental del Algebra. 3. Anillos. 3.1 Definiciones y Ejemplos. 3.2 Subanillos e Ideales. Anillo Cociente. 3.3 Dominios de factorizacion unica y de ideales principales. 3.4 Homomorfismos e Isomorfismos. 4. Permutaciones, Isometrias, Simetrias. 4.1 Permutaciones. 4.2 Isometrias. 4.3 Simetrias. 4.4 Permutaciones, isometrias y simetrias de objetos geometricos. 4.5 El grupo lineal GLn(IR). 5. Grupos. 5.1 Definiciones y ejemplos. 5.2 Subgrupos, subgrupo generado, grupos ciclicos y el Teorema de Lagrange. 5.3 Subgrupos Normales. 5.4 Homomorfismos. 5.5 Accion de un grupo sobre un conjunto. 5.6 Estructura de los grupos abelianos finitos. IV. METODOLOGIA - Clases expositivas. - Ayudantias. V. EVALUACION - Controles. - Actividades de resolucion de problemas. - Pruebas escritas. VI. BIBLIOGRAFIA Minima: Hungerford, T. Abstract Algebra, An Introduction. 3? Ed. Cengage Learning, 2013. Lewin, R. Introduccion al Algebra. Santiago: J.C. Saez Editores, 2011. Complementaria: Artin, M. Algebra. 2? Ed. Prentice Hall, 2010. Fraleigh, J. Algebra Abstracta. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, 1988. Herstein, I. Algebra Abstracta. Grupo Editorial Iberoamerica, 1988. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS / Enero 2016