CURSO : GEOMETRIA
TRADUCCION : GEOMETRY
SIGLA : MAT1307
CRÉDITOS : 10
MÓDULOS : 03
REQUISITOS : SIN REQUISITOS
CARÁCTER : MINIMO
DISCIPLINA : DISE?O
I. DESCRIPCION
El curso estudia las nociones basicas de geometria del espacio, con enfasis en las relaciones mutuas entre
rectas y planos situados en el espacio de tres dimensiones y las maneras de abordar los problemas de esta
indole. Asimismo: las proyecciones geometricas; la proyeccion central y su seccion con un plano; las
propiedades proyectivas e invariantes; la razon doble; la relacion entre las proyecciones y la razon doble por
medio del Teorema Fundamental de la geometria proyectiva; los teoremas de Pascal y Desargues; las
transformaciones geometricas; el enfoque topologico de las superficies; y la clasificacion topologica de las
superficies.
II. OBJETIVOS
El curso se propone entregar los fundamentos geometricos de varias maneras de representacion del espacio en
el plano para lo cual desarrolla algunos de los aspectos centrales de la geometria proyectiva. Asimismo, el
curso incluye un inicio al estudio topologico de las superficies.
III. CONTENIDOS
1. Rectas y planos en el espacio.
2. Posiciones mutuas. Paralelismo, perpendicularidad, angulos diedros y poliedros.
3. Proyecciones de rectas sobre planos, proyecciones de angulos, transformacion de problemas espaciales
en problemas bidimensionales.
4. Proyeccion central.
5. Puntos y rectas en el infinito.
6. Dualidad.
7. Perspectividades.
8. Teorema de Desargues.
9. Cuadrilatero completo.
10. Razon doble.
11. Proyectividades.
12. Teorema Fundamental de la Geometria Proyectiva.
13. Definicion proyectiva de las conicas.
14. Teorema de Pascal.
15. Transformaciones geometricas.
16. Transformaciones afines.
17. Transformaciones proyectivas.
18. Transformaciones topologicas.
19. Definicion topologica de superficie.
20. Algunas superficies: cinta de Mobius, botella de Klein, esfera proyectiva.
21. Modelos planos de superficies.
22. Superficies con borde y sin borde.
23. Suma conexa.
24. Construccion de superficies por medio de sumas conexas de celdas.
25. Espacios topologicos triangulables.
26. Definicion combinatoria de superficies topologica.
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FACULTAD DE MATEMATICAS / Abril de 2007
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27. Superficies compactas.
28. Superficies conexas.
29. Teorema de clasificacion de las superficies compactas y conexas.
IV. METODOLOGIA
Clases expositivas, sesiones de ejercicios con los ayudantes. Los contenidos principales del curso estan
disponibles en la web. Entrega via web de guias de ejercicios y de materiales complementarios de las clases.
V. EVALUACION
- Dos pruebas.
- Un examen.
Las reclamaciones acerca de la correccion de las pruebas deberan hacerse por escrito y en un plazo no superior
a las dos clases que siguen a la entrega corregida de la prueba correspondiente. Si P es el promedio de las
pruebas y E la nota del examen, entonces la nota final sera 0,6 P + 0,4 E. Quienes por motivos justificados
falten a una o mas pruebas deberan dar obligatoriamente el examen, que en este caso y para los efectos de la
nota final substituira a todas aquellas pruebas sin rendir. Las personas que habiendo dado todas las pruebas y
cuyas notas correspondientes multiplicadas entre si resulten mayor o igual a 25 pueden considerarse eximidas
del examen, y para las efectos de la nota final, esta sera el promedio de las notas de las pruebas.
VI. BIBLIOGRAFIA
Coxeter, H. S. M. Projective geometry. New York: Blaisdell, 1964.
Field, J. V. The invention of infinity. Oxford: Oxford University Press, 1997.
Henle, M. A combinatorial introduction to topology. San Francisco: Freeman,
1979.
Hilbert, D. y Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination. New York: Chelsea, 1952.
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