CURSO : ALGEBRA LINEAL TRADUCCION : LINEAR ALGEBRA SIGLA : MAT1203 CREDITOS : 06 SCT-Chile / 10 UC MODULOS : 05 REQUISITOS : MAT1600 RESTRICCIONES : CARRERAS: INEGNIERIA o LIC. en FISICA o LIC. en ASTRONOMIA TIPO DE ASIGNATURA : CATEDRA CALIFICACION : ESTANDAR DISCIPLINA : MATEMATICA I. DESCRIPCION El curso desarrolla los conceptos principales y la terminologia del algebra lineal que permitan al alumno plantear, resolver y analizar mediante tecnicas vectoriales y matriciales problemas que surgen en el ambito de la ingenieria, como por ejemplo en dise?o de estructuras, analisis de se?ales, sistemas de control, robotica, computacion grafica, fisica, analisis estadistico y simulaciones. II. OBJETIVOS Generales: 1. Conocer conceptos, nociones y principios de vectores geometricos, su generalizacion a Rn, matrices, conceptos metricos y ortogonalidad de vectores. 2. Interpretar geometricamente los conceptos anteriores, nociones y principios. 3. Aplicar estos conceptos, nociones y principios vectoriales y matriciales en el planteamiento, resolucion y analisis de problemas que surgen en el ambito de la ingenieria. Especificos: 1. Determinar la escalonada reducida de una matriz y utilizarla para estudiar la dependencia lineal de vectores, resolver una sistema Ax=b, resolver la ecuacion matricial AX=B, calcular inversas de matrices y bases de subespacios de Rn. 2. Interpretar geometricamente los conceptos de dependencia-independencia lineal, combinaciones convexas, complemento ortogonal, sistemas de ecuaciones lineales. 3. Explicar y aplicar las propiedades de las matrices desde el punto de vista de transformaciones lineales. 4. Explicar las propiedades de las operaciones matriciales y utilizarlas para simplificar y evaluar expresiones matriciales. 5. Calcular las factorizaciones PA=LU, Cholesky y QR de matrices ya sea manualmente o con la ayuda de un software y utilizarlas para la resolucion eficiente de problemas matriciales. 6. Explicar y utilizar las propiedades de las matrices elementales, triangulares, simetricas, hermitianas, simetricas positivas definidas, ortogonales, unitarias. 7. Explicar las propiedades de determinante y utilizarlas para calcular determinantes, resolver sistemas y evaluar inversas. 8. Identificar un espacio vectorial de dimension finita y determinar una base y su dimension, explicar y utilizar las relaciones entre los cuatro subespacios asociados a una matriz y sus dimensiones. 9. Determinar la matriz que representa a una Transformacion Lineal entre espacios vectoriales finito dimensionales y explicar la relacion entre cambio de base y la matriz que la representa. 10. Calcular proyecciones en R^n y aplicar esto a la resolucion por minimos cuadrados de sistemas de ecuaciones ya sea mediante la resolucion de ecuaciones normales o el calculo de bases ortogonales por Gram-Schmidt. 11. Clasificar una forma cuadratica por los criterios de determinante, Cholesky o valores y vectores propios. 12. Explicar las propiedades de valores, vectores propios y polinomio caracteristico de una matriz y aplicar esto a determinar si una matriz es diagonalizable y al calculo de funciones elementales de matrices. Explicar y utilizar la estructura de valores y vectores propios de matrices simetricas y sus aplicaciones. III. CONTENIDOS 1. Vectores en Rn. 1.1 Vectores en R2, R3. Ecuaciones cartesianas y parametricas de rectas y planos. 1.2 Producto punto en R2, R3. Perpendicularidad. Ecuacion normal de un plano. 1.3 Vectores en Rn .Operaciones vectoriales, producto punto canonico. 1.4 Combinaciones lineales. y = Ax. 1.5 Conjunto generado. 1.6 Combinaciones convexas, positivas. 1.7 Hiperplanos. 1.8 Dependencia e independencia lineal. 2. Solucion de Sistemas Lineales de Ecuaciones. 2.1 Eliminacion Gaussiana. Matriz escalonada reducida. 2.2 Rango Gaussiano. 2.3 Solucion general de Ax = b. 2.4 Solucion de Axi = bi, i =1, . . . , k. 2.5 Aplicaciones de sistemas lineales. 3. Matrices. 3.1 Transformaciones lineales de Rn en Rm. 3.2 Operaciones matriciales, suma, producto, transpuestas. Derivadas de matrices. 3.3 Ker(A), Im(A), 1 - 1, sobre. 3.4 Solucion general de Ax = b. 3.5 Inversas por la derecha, izquierda, inversas, matrices elementales. 3.6 Matrices especiales: diagonales, triangulares, permutacion, simetricas y antisimetricas. 3.7 Aplicaciones a los graficos por computadora. 3.8 Factorizacion PA = LU. Aplicaciones. 3.9 Factorizacion de Cholesky. 3.10 Maximos y minimos de formas cuadraticas, matrices positivas definidas. 3.11 Aplicaciones. 4. Determinantes. 4.1 Propiedades, permutaciones y cofactores. 4.2 Inversas. 4.3 Regla de Cramer, matrices positivas definidas. La derivada de un determinante. 4.4 Area, Volumen. 5. Subespacios y Dimension. 5.1 Subespacios, base y dimension en Rn. 5.2 Rango y nulidad de A, propiedades. 5.3 Dimension de los cuatro subespacios de A. 5.4 Sistemas de Coordenadas. 5.5 Matriz de cambio de base. 5.6 Representacion de una matriz como una transformacion lineal con respecto a diferentes bases. 5.7 Generalizacion de los conceptos de base y dimension a espacios abstractos. Independencia y dependencia lineal de funciones. Wronskiano. 6. Valores y Vectores Propios. 6.1 Valores y vectores propios. 6.2 Multiplicidad geometrica y algebraica. 6.3 Diagonalizacion. 6.4 Similitud y algunos invariantes. 6.5 Estudio de la iteracion Estimaciones iterativas para valores propios. 6.6 Funciones de matrices: potencias, polinomios, la serie geometrica. 6.7 Aplicaciones: solucion de ecuaciones de diferencias, cadenas de Markov, modelo de Leontiev. 7. Ortogonalidad. 7.1 Producto interior canonico, longitud, distancia. 7.2 Ortogonalidad, Pitagoras. Angulo entre vectores. 7.3 Complementos ortogonales. Ortogonalidad de los cuatro subespacios de matrices. 7.4 Estudio de las matrices de la forma A^TA 7.5 Proyecciones ortogonales, ecuaciones normales. 7.6 Reflexiones. 7.7 Problema de minimos cuadrados. 7.8 Bases ortogonales y proceso de Gram-Schmidt. 7.9 Matrices ortogonales, Reflexiones de Householder, Rotaciones de Givens. 7.10 Factorizacion QR. 7.11 Aplicaciones a modelos lineales. 7.12 Espacios con producto interior. 7.13 Aplicaciones de los espacios con producto interior. 8. Valores y Vectores Propios de Matrices Simetricas. 8.1 Numeros complejos. 8.2 Conjugados, valor absoluto, forma Cis. 8.3 Diagonalizacion de matrices simetricas. 8.4 Clasificacion de formas cuadraticas por valores propios. 8.5 Descomposicion de valores singulares. 8.6 Inversa Generalizada. 8.7 Aplicaciones. IV. METODOLOGIA - Clases expositivas. - Laboratorios practicos. - Ayudantias. V. EVALUACION - Pruebas. - Proyectos. - Tareas. VI. BIBLIOGRAFIA Minima: Lay, David. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3? Ed. Pearson Educacion, 2007. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 1993. Complementaria: Hill, Richard. Algebra lineal elemental con aplicaciones. Prentice-Hall, Hispanoamericana, 1997. Noble, Ben y James Daniel. Applied Linear Algebra. 2? Ed. Prentice Hall, 1977. Strang, Gilbert. Algebra lineal y sus Aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano, 1982. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS / Agosto 2015