CURSO : CALCULO AVANZADO
SIGLA : MAT1145
CRÉDITOS : 10
MÓDULOS : 02
REQUISITOS : MAT1135
CARÁCTER : MINIMO (Certificado menor A)
I. DESCRIPCION
En este curso se profundizan los conocimientos de los cursos de Calculo I, II y III a traves del estudio y
demostracion de sus teoremas fundamentales.
II. OBJETIVOS
Proporcionar al alumno una justificacion rigurosa de los conceptos y teoremas estudiados en los cursos
iniciales del calculo. Preparar al alumno para los desarrollos teoricos posteriores y su presentacion formal.
III. CONTENIDOS
1. Numeros Reales (6-7 clases)
1.1. Axioma del supremo, conjuntos abiertos, cerrados.
1.2. Limite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, completitud, limites superior e inferior.
1.3. Compacidad, teorema de Heine-Borel.
1.4. Numerabilidad.
1.5. Series numericas.
1.6. Construccion de , e es irracional (opcional).
2. Funciones Reales (6 clases)
2.1. Limites, continuidad, notacion O, o.
2.2. Teoremas para funciones continuas: valor intermedio, maximos y minimos en compactos,
continuidad de la inversa.
2.3. Continuidad uniforme.
2.4. Funciones Lipschitz y Holder continuas.
2.5. Continuidad de funciones monotonas.
3. Diferenciabilidad (5 a 6 clases)
3.1. Regla de la cadena.
3.2. La derivada de una funcion diferenciable es Darboux continua.
3.3. Teorema del valor medio generalizado, regla de l'Hopital.
3.4. Desarrollo de Taylor, orden de magnitud, analisis de maximos y minimos.
3.5. Una funcion C con resto grande.
3.6. Funciones convexas: definicion geometrica, continuidad, continuidad de Lipschitz local,
existencia de la derivada salvo en un conjunto numerable.
4. Integral de Riemann (3 a 4 clases)
4.1. Integrabilidad de funciones continuas, medida cero del conjunto de discontinuidad implica
integrable.
4.2. Teorema fundamental del calculo.
4.3. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
5. Convergencia Uniforme (5 clases)
5.1. Definicion, ejemplos.
5.2. Series de potencia, diferenciabilidad, integrabilidad.
5.3. Funciones analiticas reales, principio de identidad, continuacion analitica.
5.4. Series complejas (radio de convergencia).
6. Funciones de Varias Variables (6 clases)
6.1. Conjuntos abiertos, cerrados, compactos.
6.2. Continuidad, continuidad uniforme en compactos, maximos y minimos.
6.3. Diferenciabilidad, diversos ejemplos que relacionen continuidad, existencia de derivadas
parciales y diferenciabilidad.
6.4. Lema de Schwarz sobre derivadas mixtas de segundo orden.
6.5. Teoremas de la funcion implicita e inversa.
7. Temas Opcionales
7.1. Conjuntos medibles de Jordan en Rn .
7.2. Integrabilidad de Riemann de funciones continuas.
7.3. Teorema de Fubini (al menos para funciones continuas).
7.4. Integrales de linea y campos conservativos, dominios simplemente conexos.
7.5. Conjuntos convexos en Rn .
7.6. Diferencial, espacios tangentes.
IV. METODOLOGIA
Basada especificamente en las siguientes actividades
- Clases expositivas
V. EVALUACION
- Pruebas
- Examen
VI. BIBLIOGRAFIA
Apostol, Calculus , Reverte, 1965.
Courant & John, Introduccion al Calculo y al Analisis Matematico, Limusa, 1971.
Spivak, Calculus , Reverte, 1993.
Royden, Real Analysis, 3? ed., Macmillan, 1988.
Fleming, Funciones de Varias Variables, C.E.C.S.A., 1969.
